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线性变换

定义

数学函数 $\tau(\boldsymbol{v})=\tau(x,y,z)=(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$，我们称$\tau$ 为线性变换（linear transformation），当且仅当该函数具有下列性质：

$\begin{aligned} \tau(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}) &=\tau(\boldsymbol{u})+\tau(\boldsymbol{v}) \\ \tau(k\boldsymbol{u}) &=k\tau(\boldsymbol{u}) \end{aligned}$

其中 $\boldsymbol{u}$ 和$\boldsymbol{v}$是任意三维向量，$k$为标量。

矩阵表示法

向量 $\boldsymbol{u}=(x,y,z)$ 可以写作

$\boldsymbol{u}=(x,y,z)=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)$

$\boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{j}$和 $\boldsymbol{k}$ 称为 $\mathbb{R}^3$ 的标准基向量 （standard basis vector）。设$\tau$ 为一种线性变换，能够得到

$\begin{aligned} \tau(\boldsymbol{u})&=\tau(x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}) \\ &=\boldsymbol{uA}=[x,y,z]\left[\begin{array}{ccc} A_{11} &A_{12} &A_{13} \\ A_{21} &A_{22} &A_{23} \\ A_{31} &A_{32} &A_{33} \end{array} \right] \end{aligned}$

矩阵

由 $m$ 行$n$列实数组成的矩形阵列称作规模为 $m\times n$ 的矩阵 （matrix）$\boldsymbol{M}$。矩阵中的数字称作元素（element）或元（entry）。用$\boldsymbol{M}_{ij}$ 表示矩阵中第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素。

矩阵乘法

$m\times n$的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与$n\times p$的矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的乘积为规模 $m\times p$ 的矩阵 $\boldsymbol{C}$。$\boldsymbol{C}$ 中第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 第$i$个行向量与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 第$j$个列向量的点积，即：

$\boldsymbol{C}_{ij}=\boldsymbol{A}_{i,*}\cdot\boldsymbol{B}_{*,j}$

向量与矩阵的乘法

向量 $\boldsymbol{u}=(x,y,z)$ 与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的乘法：

$\boldsymbol{uA}=x\boldsymbol{A}_{1,*}+y\boldsymbol{A}_{2,*}+z\boldsymbol{A}_{3,*}$

实为一种 线性组合 （linear combination），意味着向量与矩阵的乘积$\boldsymbol{uA}$ 相当于：向量 $\boldsymbol{u}$ 的标量系数 $x$、$y$、$z$ 与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 各行向量的线性组合。

转置矩阵

《出口仁老师讲解 N4 语法》的听课笔记，仅供未来复习进行参考。

までに

在……前

• 来週の日曜日 まで レポートを出してください。
• 来週の日曜日 まで 東京にいます。

つもり

打算

• 動詞辭書形＋つもりです
• 動詞ない形＋つもりです
• 動詞辭書形＋つもりはありません

• 日本へ留学する つもり です。
• 日本へ留学しようと思っています。
• 日本へ留学しようと思います。

《出口仁老师讲解 N5 语法》的听课笔记，仅供未来复习进行参考。

名詞

動詞

な形容詞

い形容詞

• いいです・よいです
• よくないです

は

前三章主要是一些数学概念和定理，主要记录了一下名词与基本概念。

向量

向量 （Vector）兼具大小（或称 模，magnitude）和方向。

向量与坐标系

当一个向量的尾部位于原点时，成该向量位于 标准位置（standard position）。

书中术语“框架”（frame）、“参考系”（frame of reference）、“空间”（space）和“坐标系”（coordinate system）表示相同的意义。

左手坐标系与右手坐标系

Direct3D 采用的是左手坐标系。

长度和单位向量

把一个向量的长度变为单位长度成为向量的 规范化（normalizing）处理。规范化的实现方法：

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