DirectX 12 龙书读书笔记（2）

矩阵

由 $m$ 行$n$列实数组成的矩形阵列称作规模为 $m\times n$ 的矩阵 （matrix）$\boldsymbol{M}$。矩阵中的数字称作元素（element）或元（entry）。用$\boldsymbol{M}_{ij}$ 表示矩阵中第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素。

矩阵乘法

$m\times n$的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与$n\times p$的矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的乘积为规模 $m\times p$ 的矩阵 $\boldsymbol{C}$。$\boldsymbol{C}$ 中第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 第$i$个行向量与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 第$j$个列向量的点积，即：

$\boldsymbol{C}_{ij}=\boldsymbol{A}_{i,*}\cdot\boldsymbol{B}_{*,j}$

向量与矩阵的乘法

向量 $\boldsymbol{u}=(x,y,z)$ 与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的乘法：

$\boldsymbol{uA}=x\boldsymbol{A}_{1,*}+y\boldsymbol{A}_{2,*}+z\boldsymbol{A}_{3,*}$

实为一种 线性组合 （linear combination），意味着向量与矩阵的乘积$\boldsymbol{uA}$ 相当于：向量 $\boldsymbol{u}$ 的标量系数 $x$、$y$、$z$ 与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 各行向量的线性组合。

转置矩阵

转置矩阵 （transpose matrix）指的是将原矩阵$\boldsymbol{M}$ 的行和列互换所得到的新矩阵，记作$\boldsymbol{M}^\boldsymbol{T}$。

单位矩阵

单位矩阵（identity matrix）是一种主对角线上元素均为 1，其他元素都为 0 的方阵。

行列式

行列式（determinant）是一种特殊的函数，以一个方阵作为输入，并输出实数。通常记作$det \boldsymbol{A}$。定义为：

$\begin{aligned} det \boldsymbol{A}_{11} &= \boldsymbol{A}_{11} \\ det \boldsymbol{A} &=\sum_{j=1}^n\boldsymbol{A}_{1j}(-1)^{1+j}det\boldsymbol{\overline{A}}_{1j} & (n>1) \end{aligned}$

其中 $\boldsymbol{\overline{A}}_{ij}$ 为$\boldsymbol{A}$的 余子阵 （minor martix），即为$\boldsymbol{A}$ 中去除第 $i$ 行、第 $j$ 列的 $(n-1)\times(n-1)$ 的矩阵。

伴随矩阵

设 $\boldsymbol{A}$ 为$n\times n$矩阵。乘积 $\boldsymbol{C}_{ij}=(-1)^{i+j}det\boldsymbol{\overline{A}}_{ij}$ 称为 元素 $\boldsymbol{A}_{ij}$ 的代数余子式 （cofactor of $\boldsymbol{A}_{ij}$）。将$\boldsymbol{C}_{ij}$ 置于矩阵 $\boldsymbol{C}_\boldsymbol{A}$ 中第 $i$ 行、第 $j$ 列的相应位置，将获得 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的代数余子式矩阵（cofactor matrix of $\boldsymbol{A}$）：

$\boldsymbol{C}_\boldsymbol{A}= \left[\begin{array}{cccc} C_{11} &C_{12} &\cdots &C_{1n} \\ C_{21} &C_{22} &\cdots &C_{2n} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ C_{n1} &C_{n2} &\cdots &C_{nn} \end{array} \right]$

取 $\boldsymbol{C}_\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵，将得到 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵（adjoint matrix of $\boldsymbol{A}$），记作：

$\boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{C}_\boldsymbol{A}^T$

逆矩阵

1. 只有方阵有逆矩阵。
2. $n\times n$矩阵 $\boldsymbol{M}$ 的逆也为 $n\times n$ 矩阵，表示为$\boldsymbol{M}^{-1}$。
3. 存在逆矩阵的方阵称为 可逆矩阵 （invertible matrix），不存在逆矩阵的方阵称为 奇异矩阵（singular matrix）。
4. 可逆矩阵的逆矩阵唯一。
5. 矩阵与它的逆矩阵相乘得到单位矩阵。

求逆矩阵公式：

$\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{\boldsymbol{A}^*}{det\boldsymbol{A}}$

由于我们关注的 3D 计算机图形学中所涉及的具有特殊形式的矩阵，因此提前确定出了他们的求逆矩阵公式。这样一来，上式在代码中极少被运用。

矩阵乘积的逆有如下性质：

$(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1}$

DirectXMath 库

矩阵类型

DirectXMath 中定义 XMMATRIX 类来表示 $4\times 4$ 矩阵。XMMATRIX由 4 个 XMVECTOR 实例构成，借此使用 SIMD 技术。

XMMATRIX实列可以通过：

• 4 个行向量
• 16 个矩阵元素
• 含有 16 个浮点数元素的数组

来进行初始化。

DirectXMath 文档建议使用 XMFLOAT4X4 来存储类中的矩阵类型数据成员变量，并由以下加载和存储方法：

// 加载
inline XMMATRIX XM_CALLCONV XMLoadFloat4x4 (const XMFLOAT4X4 *pSource);
// 存储
inline void XM_CALLCONV XMStoreFloat4x4 (XMFLOAT4X4 *pDestination, FXMMATRIX M);

矩阵函数

// 单位矩阵 I
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixIdentity ();
// M 是单位矩阵?
bool XM_CALLCONV XMMatrixIsIdentity (FXMMATRIX M);
// A x B
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixMultiply (FXMMATRIX A, CXMMATRIX B);
// M^T
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixTranspose (FXMMATRIX M);
// (det M, det M, det M, det M)
XMVECTOR XM_CALLCONV XMMatrixDeterminant (FXMMATRIX M);
// M^-1
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixInverse (XMVECTOR* pDeterminant, FXMMATRIX M);

32 位 Windows 上的调用约定：

// __fastcall 将前 3 个 XMVECTOR 参数传递到寄存器中，其余参数存在栈上
typedef const XMMATRIX& FXMMATRIX;
typedef const XMMATRIX& CXMMATRIX;

// __vectorcall 将前 6 个 XMVECTOR 参数传递到寄存器中，其余参数存在栈上
typedef const XMMATRIX FXMMATRIX;
typedef const XMMATRIX& CXMMATRIX;

32 位 Windows 上的 __fastcall 调用约定中，XMMATRIX是不能传至 SSE/SSE2 寄存器的，因为寄存器这时只支持 3 个 XMVECTOR 参数传入，XMMATRIX由 4 个 XMVECTOR 构成，只能通过堆栈来引用。

构造函数是一个特例，DirectXMath 建议用户总是在构造函数中采用 CXMMATRIX 类型来获取 XMMATRIX 参数，也不要使用 XM_CALLCONV 约定注解。