DirectX 12 龙书读书笔记（1）

前三章主要是一些数学概念和定理，主要记录了一下名词与基本概念。

向量

向量 （Vector）兼具大小（或称 模，magnitude）和方向。

向量与坐标系

当一个向量的尾部位于原点时，成该向量位于 标准位置（standard position）。

书中术语“框架”（frame）、“参考系”（frame of reference）、“空间”（space）和“坐标系”（coordinate system）表示相同的意义。

左手坐标系与右手坐标系

Direct3D 采用的是左手坐标系。

长度和单位向量

把一个向量的长度变为单位长度成为向量的 规范化（normalizing）处理。规范化的实现方法：

$\widehat{\boldsymbol{u}}=\frac{\boldsymbol{u}}{\left\|\boldsymbol{u}\right\|}=\left(\frac{x}{\left\|\boldsymbol{u}\right\|},\frac{y}{\left\|\boldsymbol{u}\right\|},\frac{z}{\left\|\boldsymbol{u}\right\|}\right)$

点积

点积 （dot product，又称数量积或内积），有时也称为 标量积（scalar product）。点积的定义：

$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$

余弦定理（law of cosines）：

$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=\left\|\boldsymbol{u}\right\|\left\|\boldsymbol{v}\right\|\cos\theta$

如果 $\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=0$，称两个向量 正交（orthogonal）或垂直（perpendicular）。

向量 $\boldsymbol{v}$ 落在向量 $\boldsymbol{n}$ 上的 正交投影 （orthogonal projection）$\boldsymbol{p}$ 通常表示为：

$\boldsymbol{p}=proj_{\boldsymbol{n}}(\boldsymbol{v})$

通过把向量 $\boldsymbol{n}$ 替换为单位向量 $\frac{\boldsymbol{n}}{\left\|\boldsymbol{n}\right\|}$ 可得到一般性的投影公式：

$\boldsymbol{p}=proj_{\boldsymbol{n}}(\boldsymbol{v})=\left(\boldsymbol{v}\cdot\frac{\boldsymbol{n}}{\left\|\boldsymbol{n}\right\|}\right)\frac{\boldsymbol{n}}{\left\|\boldsymbol{n}\right\|}=\frac{(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n})}{\left\|\boldsymbol{n}\right\|^2}\boldsymbol{n}$

正交化

如果向量集 $\{\boldsymbol{v_0},\ldots,\boldsymbol{v_{n-1}}\}$ 中任意向量两两正交且皆具单位长度，成此集合是 规范正交（orthonormal）的。

规范正交集有时由于处理过程中数值精度的问题，会逐步变成非规范正交集。这是需要正交化。

设有向量集$\{\boldsymbol{v_0},\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2}\}$，希望将它正交化为正交集$\{\boldsymbol{w_0},\boldsymbol{w_1},\boldsymbol{w_2}\}$，则令：

$\begin{aligned} \boldsymbol{w_0}&=\boldsymbol{v_0}\\ \boldsymbol{w_1}&=\boldsymbol{v_1}-proj_{\boldsymbol{w_0}}(\boldsymbol{v_1}) \\ \boldsymbol{w_2}&=\boldsymbol{v_2}-proj_{\boldsymbol{w_0}}(\boldsymbol{v_2})-proj_{\boldsymbol{w_1}}(\boldsymbol{v_2}) \end{aligned}$

对于 $n$ 个向量的一般集合 $\{\boldsymbol{v_0},\ldots,\boldsymbol{v_{n-1}}\}$，为将其正交化为规范正交集$\{\boldsymbol{w_0},\ldots,\boldsymbol{w_{n-1}}\}$，则使用 格拉姆 - 施密特正交化 方法：

基本步骤：设$w_0=v0$

对于$1\le i\le n-1$，令$\boldsymbol{w_i}=\boldsymbol{v_i}-\sum_{j=0}^{i-1}proj_{\boldsymbol{w_j}}(\boldsymbol{v_i})$

规范化步骤：令$\boldsymbol{w_i}=\frac{\boldsymbol{w_i}}{\left\|\boldsymbol{w_i}\right\|}$

叉积

乘法的第二种形式是 叉积（cross product，亦称向量积、外积）。如果$\boldsymbol{u}=(u_x,u_y,u_z)$，$\boldsymbol{v}=(v_x,v_y,v_z)$，那么叉积的计算方法为：

$\boldsymbol{w}=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}=(u_yv_Z-u_zv_y,u_zv_x-u_xv_z,u_xv_y-u_yv_x)$

如果伸出左手，大拇指伸出，向量 $\boldsymbol{u}$ 按四指旋转方向旋转到向量 $\boldsymbol{v}$ 时，且小于等于 180°，则向量 $\boldsymbol{w}$ 沿着大拇指方向，反之则与大拇指反方向。这就是 左手拇指法则（left-hand-thumb rule），也称左手定则。

叉积具有反交换律：

$\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}=-\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{u}$

使用叉积处理将近乎规范正交的向量集 $\{\boldsymbol{v_0},\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2}\}$ 完全正交化：

1. 令$\boldsymbol{w_0}=\frac{\boldsymbol{v_0}}{\left\|\boldsymbol{v_0}\right\|}$。
2. 令$\boldsymbol{w_2}=\frac{\boldsymbol{w_0}\times\boldsymbol{v_1}}{\left\|\boldsymbol{w_0}\times\boldsymbol{v_1}\right\|}$。
3. 令$\boldsymbol{w_1}=\boldsymbol{w_2}\times\boldsymbol{w_0}$。

此时向量积 $\{\boldsymbol{w_0},\boldsymbol{w_1},\boldsymbol{w_2}\}$ 是规范正交的。

DirectXMath 库

该数学库采用 SSE2 指令集，借助 128 位宽的 SIMD 寄存器，利用一条指令即可同时对 4 个 32 位浮点数或整数进行运算。

向量类型

DirectXMath 中核心的向量类型是XMVECTOR。开启 SSE2 后，该类型在 x86 和 x64 的定义是：

typedef __m128 XMVECTOR;

类中的成员变量，建议分别使用 XMFLOAT2（2D 向量）、XMFLOAT3（3D 向量）和XMFLOAT4（4D 向量）来加以代替。转化过程可通过库的加载函数（loading function）实现。相反地，库提供了将XMVECTOR 类型转换为 XMFLOATn 类型地存储函数（storage function）。

总结：

1. 局部变量或全局变量使用 XMVECTOR 类型。
2. 对于类中的数据成员，使用 XMFLOAT2、XMFLOAT3）和XMFLOAT4 类型。
3. 运算前通过加载函数将 XMFLOATn 转换为XMVECTOR。
4. 用 XMVECTOR 实例进行运算。
5. 通过存储函数将 XMVECTOR 转换为XMFLOATn。

加载方法和存储方法

// 加载
XMVECTOR XM_CALLCONV XMLoadFloat3 (const XMFLOAT3 *pSource);
// 存储
void XM_CALLCONV XMStoreFloat3 (XMFLOAT3 *pDestination, FXMVECTOR V);

参数的传递

可将 XMVECTOR 的值作为函数的参数，直接传送至 SSE/SSE2 寄存器，而不是栈内。

一定要把约定注解 XM_CALLCONV 加在函数名前，它会根据编译器版本确定对应的调用约定属性。构造函数除外。

传递 XMVECTOR 参数的规定如下：

1. 前 3 个参数用类型FXMVECTOR；
2. 第 4 个参数用类型GXMVECTOR；
3. 第 5、6 个参数用类型HXMVECTOR；
4. 其余参数用CXMVECTOR；

32 位 Windows 上的调用约定：

// __fastcall 将前 3 个 XMVECTOR 参数传递到寄存器中，其余参数存在栈上
typedef const XMVECTOR FXMVECTOR;
typedef const XMVECTOR& GXMVECTOR;
typedef const XMVECTOR& HXMVECTOR;
typedef const XMVECTOR& CXMVECTOR;

// __vectorcall 将前 6 个 XMVECTOR 参数传递到寄存器中，其余参数存在栈上
typedef const XMVECTOR FXMVECTOR;
typedef const XMVECTOR GXMVECTOR;
typedef const XMVECTOR HXMVECTOR;
typedef const XMVECTOR& CXMVECTOR;

常向量

XMVECTOR类型的常量实例应当用 XMVECTORF32 类型表示。例：

static const XMVECTORF32 g_vHalfVector = {0.5f, 0.5f, 0.5f, 0.5f};

重载运算符

XMVECTOR类型针对加法、剑法、标量乘法提供了对应的重载运算符。

杂项

库中定义了一组与 $\pi$ 有关的常量XM_PI、XM_2PI、XM_1DIVPI、XM_1DIV2PI、XM_PIDIV2、XM_PIDIV4。

内联函数 XMConvertTORadians、XMConvertTODegrees 实现了弧度与角度的相互转化。

Setter

// 零向量
XMVECTOR XM_CALLCONV XMVectorZero ();
// 向量(1, 1, 1, 1)
XMVECTOR XM_CALLCONV XMVectorSplatOne ();
// 向量(x, y, z, w)
XMVECTOR XM_CALLCONV XMVectorSet (float x, float y, float z, float w);
// 向量(Value, Value, Value, Value)
XMVECTOR XM_CALLCONV XMVectorReplicate (float Value);

向量函数

// ||v||
XMVECTOR XM_CALLCONV XMVector3Length (FXMVECTOR V);
// ||v||^2
XMVECTOR XM_CALLCONV XMVector3LengthSq (FXMVECTOR V);
// v1 · v2
XMVECTOR XM_CALLCONV XMVector3Dot (FXMVECTOR V1, FXMVECTOR V2);
// v1 x v2
XMVECTOR XM_CALLCONV XMVector3Cross (FXMVECTOR V1, FXMVECTOR V2);
// v/||v||
XMVECTOR XM_CALLCONV XMVector3Normalize (FXMVECTOR V);
// 正交 v 的向量 
XMVECTOR XM_CALLCONV XMVector3Orthogonal (FXMVECTOR V);
// v1 和 v2 间的夹角
XMVECTOR XM_CALLCONV XMVector3AngleBetweenVectors (FXMVECTOR V1, FXMVECTOR V2);
// proj_n(v) 和 perp_n(v)
XMVECTOR XM_CALLCONV XMVector3ComponentsFromNormal (XMVECTOR* pParallel, XMVECTOR* Perpendicular, FXMVECTOR V1, FXMVECTOR V2);
// v1==v2?
bool XM_CALLCONV XMVector3Equal (FXMVECTOR V1, FXMVECTOR V2);
// v1!=v2?
bool XM_CALLCONV XMVector3NotEqual (FXMVECTOR V1, FXMVECTOR V2);

浮点数误差

比较浮点数时，需要定义一个 Epsilon 常量，作为针对浮点数的误差问题的容差（tolerance）。

对此，库提供了 XMVector3NearEqual 函数：

XMFINLINE bool XM_CALLCONV XMVector3NearEqual (FXMVECTOR U, FXMVECTOR V, FXMVECTOR Epsilon);